Numeri e forme, ecco il segreto dell’arte moderna
Che rapporto c’è tra la matematica e un quadro?
Una risposta nella mostra sui cento capolavori dell’Ermitage
Chiedere a un matematico di commentare dei quadri è come chiedere a un pittore di dipingere dei numeri: un evento a prima vista piuttosto improbabile, che a uno sguardo approfondito risulta però possibile. Anzi, tanto possibile da essersi già verificato più volte. Basta ricordare l’esoterica Malinconia di Albrecht Dürer (1514), in cui di numeri ne compaiono addirittura sedici, disposti in forma di quadrato magico: un’opera sulla quale il professor Nanni Moretti espresse tutta la sua sorpresa in un’imbarazzante lezione del film Bianca (1976).
Altri esempi sono i telescopici Numeri innamorati di Giacomo Balla (1925), in cui vengono raffigurati i primi termini della misteriosa successione di Fibonacci che descrive le simmetrie della natura, e il Cinque dorato di Charles Demuth (1949), che rappresenta appunto ciò che dichiara: un enorme e luccicante cinque. Quest’ultimo fu tanto influente da essere stato ripetutamente citato e ripreso, per esempio nel Cinque di Demuth di Robert Indiana (1963): un artista che deve la sua fama al celeberrimo Love (1967), di cui si appropriarono i Beatles per la copertina di un loro disco. Per quanto riguarda noi e oggi, basta citare Ugo Nespolo, che ha fatto dei numeri il soggetto preferito della propria ispirazione e dei propri acrilici su legno. Se i pittori si permettono di dipingere numeri, i matematici potranno dunque ben azzardarsi a commentare quadri.
Avviamoci quindi a curiosare insieme nella mostra dei cento capolavori dell’Ermitage, alla ricerca di elementi di riflessione scientifica più che artistica. Il gioco è difficile, perché i quadri in esibizione alle Scuderie Papali del Quirinale appartengono a un periodo e a pittori non particolarmente sensibili al razionalismo matematizzante che ci interessa in questa sede. Poiché però i giochi facili divertono poco, di questo saremo più felici che preoccupati. Quasi all’inizio della mostra, il primo dipinto ad attirare la nostra attenzione è il numero 23: La Chiesa di Santa Maria degli Angeli di Henry Edmond Cross (1909), un tipico esempio di "puntillismo". Questa tecnica, scoperta o inventata da Georges Seurat nel corso dei suoi studi sui colori e da lui chiamata "divisionismo", rappresentò una vera e propria rivoluzione euclidea nell’arte: il riconoscimento, cioè, che come lo spazio geometrico è costituito di punti immateriali e senza dimensione, così lo spazio pittorico si compone di punti colorati ai quali è possibile ridurre ogni figura. Oggi siamo tutti puntillisti senza neppure accorgercene, perché sappiamo benissimo che le immagini degli schermi televisivi o informatici sono appunto composte di cosiddetti pixel colorati: più grande è il numero dei pixel usati, maggiore è la risoluzione dello schermo e delle relative immagini. I puntillisti non erano invece interessati alla risoluzione, ma al suo esatto contrario: il loro obiettivo non era nascondere la natura atomica dello spazio visivo, ma esibirla. Proprio negli stessi anni in cui gli artisti decostruivano le immagini pittoriche in punti colorati, i matematici e i fisici decostruivano le curve geometriche in funzioni sinusoidali e gli atomi materiali in particelle elementari. In tutti i casi si trattò di una medesima riduzione della realtà a fenomeni ondulatori (ottici, trigonometrici o quantistici) rimasti fino ad allora nascosti: come disse Einstein, si era finalmente "sollevato un lembo del grande velo" che cela la dinamica essenza del divenire dietro la statica apparenza dell’essere.
La parte centrale della mostra riguarda artisti, da Gauguin a Matisse, alla cui opera poco si addice un’analisi matematica.
La cosa cambia invece quando ci imbattiamo, verso la fine, in una serie di quadri cubisti di Pablo Picasso (1907-1917).
Se il puntillismo atomizzava le figure in singoli punti, il cubismo decompone i contorni in tratti rettilinei e gli interni in tasselli triangolari, che nella geometria euclidea sono rispettivamente determinati da coppie o terne di punti.
Si tratta di un duplice processo di approssimazione, di curve mediante segmenti e di superfici mediante triangoli, che ammette illustri precursori matematici. Già i Greci sapevano infatti che un cerchio si può approssimare a piacere con poligoni regolari, e ne La dotta ignoranza (1440) il cardinal Cusano arrivò all’ardita concezione del cerchio come poligono a infiniti lati di lunghezza infinitesima.
Quanto alla possibilità di approssimare superfici curve mediante poligoni, l’architettura moderna ci ha assuefatti all’idea mediante le famose cupole geodesiche di Buckminster Fuller, e il pallone da calcio ci ricorda che una sfera non è troppo diversa da una combinazione di dodici pentagoni e venti esagoni. I due esempi convergono nel cosiddetto buckminsterfullerene, un composto superstabile le cui molecole sono appunto costituite da sessanta atomi di carbonio disposti nei vertici dei poligoni che formano il pallone da calcio.
Per tornare all’arte, puntillismo e cubismo effettuarono una rivoluzione linguistica della pittura, ma non ne mutarono il soggetto: i dipinti di Cross e di Picasso i
n esibizione rappresentano ancora i soliti paesaggi e personaggi, sia pure raffigurati con una tecnica diversa. E questo destino accomuna non solo l’arte, ma anche la letteratura, la filosofia, la scienza e la matematica. Anzi, è proprio perché ogni epoca narra spesso le stesse storie, sia pure raccontandole con un suo linguaggio diverso, che noi possiamo continuare a godere anche oggi delle opere del passato.
A ricordarci che a volte però le cose cambiano non solo nella forma ma anche nella sostanza, è il dipinto numero 99 al termine della mostra: il Violino e chitarra di Ferdinand Léger (1924). Nonostante il titolo, di violini e chitarra qui non c’è l’ombra. O meglio, rimane soltanto una letterale ombra, cioè un’astrazione: sulla tela non si vedono infatti altro che figure geometriche, ossia le forme astratte degli oggetti concreti.
Il quadro di Léger non è certo rappresentativo né dell’artista, né della mostra, e all’interno della collezione dei capolavori dell’Ermitage è forse uno dei meno interessanti.
Svolge però il ruolo essenziale di puntatore verso l’esterno, verso quella forma intellettuale e sofisticata dell’arte moderna che è l’astrattismo di gruppi quali il Bauhaus o il De Stijl, e di artisti quali Mondrian o Kandinskij.
Siamo qui finalmente approdati a ciò che i Greci chiamavano "idee", e che noi faremmo meglio a tradurre con "forme". La teoria platonica delle idee, sfrondata della metafisica di cui si è ammantata nei secoli, si riduce infatti alla constatazione che la vera essenza di questo imperfetto mondo è la perfetta geometria. E l’arte moderna, nel suo percorso alla ricerca della forma pura ed essenziale, non poteva che approdare alla stessa conclusione e diventare matematica. Scopriamo dunque che le attività del matematico e dell’artista non sono poi così diverse, perché comuni sono gli oggetti delle loro ricerche, e le forme delle loro rappresentazioni: la prossima volta si potrà allora chiedere a un artista di commentare delle formule.(PG ODIFREDDI)
Con il «Liber Abaci» ha perfezionato il sistema di calcolo che veniva dall’India e dall’Arabia Ha rivoluzionato la matematica e persino Leonardo gli ha reso omaggio
Che cosa hanno in comune Stravinskji, Leonardo da Vinci, Bach, Seurat e l’allevare conigli e la capacità di far di conto? Si potrebbe continuare a citare nomi di musicisti, artisti, filosofi, matematici. Dobbiamo fare un salto indietro: quando la nostra civiltà occidentale impara a fare di conto, quando si diffonde la capacità di riuscire a cavarsela per acquistare o vendere delle merci? Questione non facile se si utilizzano i numeri Romani. Quale proprietà non hanno i numeri Romani? Non sono posizionali, nel senso che se ilo scrivo XIII, indico con X la decina, con III il numero tre e quindi ho scritto il numero 13. Appunto noi oggi scriviamo 13 dove semplicemente scrivendo il numero 1 in prima
posizione indichiamo che si tratta di una decina e non ci sono dubbi che se scrivo 1, cioè il numero uno ripetuto in prima e seconda posizione si tratta di una decina e di una unità, non come nel caso dei numeri Romani dove il numero 1 ripetuto voleva dire 2. Il vantaggio? Provate a moltiplicare 1567 per 32789 con numeri Romani. Noi utilizziamo dieci simboli 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 per scrivere qualsiasi numero e utilizziamo la loro posizione per distinguere tra unità, decine, centinaia, migliaia, miliardi ecc.
Sembra una cosa talmente ovvia che nessuno fa mente locale che è ad un certo punto della storia dell’umanità che si diffonde questo modo di contare e i simboli che per noi oggi rappresentano i numeri interi. Insomma come arrivano da noi i numeri interi scritti come li conosciamo oggi e quando si diffonde la scrittura posizionale dei numeri?
In tutte le epoche storiche il mare Mediterraneo è stato una grande strada di combinazione per gli scambi culturali e economici tra le tante civiltà che vi si affacciano. Ci sono state migrazioni, invasioni, guerre per secoli e secoli. E la civiltà, tutte le tante civiltà del Mediterraneo sono più o meno una debitrice dell’altra. Anche se si tende a dimenticarselo e si mettono invece in evidenze le diversità. La nostra capacità di fare i conti ha un grande debito con la civiltà Araba del Nord Africa e con la lontana civiltà Indiana. Un personaggio in particolare è stato il più importante tramite tra la evoluta civiltà matematica araba e l’Europa: Leonardo Fibonacci, detto anche Leonardo Pisano. Si sa poco della sua vita, non si conoscono né la data della nascita né della morte. Quella che sembra sicura è la data di completamente di un libro che sarà di un importanza capitale per il trasferimento di conoscenza tra Oriente ed Occidente. Nel 1202 Fibonacci compone il Liber Abaci, il libro dell’Abaco. Sono passati quindi ottocento anni. Per celebrare la ricorrenza l’Unione Matematica Italiana dedicherà il numero di agosto della rivista La matematica nella società e nella cultura in gran parte a Fibonacci. Con un lungo articolo storico di Raffaella Franci, uno di Ribenboim sui numeri di Fibonacci nella natura ed una lunga intervista di Laura Tedeschini Lalli a Roman Vlad su musica, arte e matematica, con un occhio di riguardo ai numeri di Fibonacci. Ma torniamo a quello che si sa di Fibonacci. Che sia di Pisa sembra certo così come che fosse della casata dei Bonaccio. Il padre Guglielmo ha una parte importante nella storia.
Negli anni intorno al 1185 Guglielmo Fibonacci era pubblico scrivano della Repubblica di Pisa presso la dogana di Bugia, tra le attuali Algeri e Tunisi, un importante porto commerciale dell’Africo settentrionale. Scrive la Franci che: «Il commercio dopo molti secoli di stagnazione dall’anno Mille aveva avuto una notevole ripresa ed aveva assunto di nuovo carattere internazionale. Il commercio internazionale aveva due bacini principali. L’Europa settentrionale che forniva lana, panni, legname, ferro ed altri metalli e i paesi dell’Africa settentrionale e del vicino oriente che esportavano principalmente spezie, seta e gioielli. Nonostante il frazionamento politico, la diversità dei costumi e delle lingue parlate i paesi di entrambi i poli erano caratterizzati da una religione comune e da una comune lingua letteraria: il cristianesimo e il latino per i primi, l’islamismo e l’arabo per gli altri.» La continuità e l’ampiezza dei commerci fra le città marinare italiane e alcuni porti arabi portarono alla costituzione in questi ultimi di quartieri i cui abitanti provenivano tutti da una stessa città e godevano di speciali privilegi. Si trattava di vere e proprie zone franche rette da pubblici ufficiali che applicavano nell’amministrazione le leggi delle rispettive repubbliche. Bugia era uno dei porti nei quali Pisa aveva un suo «stabilimento», che negli anni attorno al 1185 era presieduto da Guglielmo Fibonacci. Guglielmo, mentre era in servizio a Bugia, decise di chiamare a sé il figlio Leonardo, ancora ragazzo, per completare la sua educazione. In particolare a studiare l’abaco, termine con il quale erano indicati sia uno strumento a tavoletta per eseguire le operazioni. aritmetiche, sia il complesso delle tecniche commerciali. Nella scuola di Bugia Leonardo venne a conoscenza del sistema posizionale usato dagli arabi per scrivere i numeri. Probabilmente fu proprio perché Leonardo imparasse questo modo nuovo di fare i conti che il padre lo aveva chiamato a Bugia. Fibonacci si convinse presto che il metodo dei numeri indiani con la scrittura posizionale erano molto più efficaci di quello in uso in Europa all’epoca.
Nel trattato di Abaco scriverà: « Fui introdotto in tale arte (dell’abaco) da un mirabile insegnamento per mezzo delle nove figure degli Indi. La conoscenza di tale arte molto mi piacque rispetto alle altre. Riassunto in breve tale procedimento degli Indi, studiandolo più attentamente e aggiungendovi qualcosa di mia iniziativa e altro ancora apponendovi delle sottigliezze dell’arte geometrica di Euclide, mi sono impegnato a comporre nel modo più chiaro possibile questo libro diviso in 15 capitoli, presentandovi con dimostrazioni quasi tutto quello che ho inserito. E questo perché coloro che sono attirati da questa scienza ne vengano istruiti in modo perfetto, e i popoli latini (gens latina ) non se ne trovino esclusi come è stato fino ad oggi».
E i numeri di Fibonacci? Tra i tanti problemi che si trovano nel Liber Abaci uno è diventato molto famoso: il problema dell’allevamento dei conigli. Si ha una coppia di conigli e ci si chiede Quot paria coniculorum in uno anno ex uno patto germinantur. (quanto coppie di conigli saranno prodotte da una coppia di conigli). La regola è che ogni mese la coppia originaria genera una nuova coppia. Da una quindi dopo un mese se ne ha un’altra, da 1 a 2, dopo un altro mese 1 altra coppia (la seconda non è ancora fertile) quindi 3, poi al terzo mese altre due coppie generate, quindi 5 e così via. Si arriva alla successione di numeri 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 e così via. I numeri di Fibonacci appunto.
E Stravinskji, Leonardo, Seurat? Se si considera al crescere delle coppie il tasso di crescita dell’allevamento dei conigli ci si avvicina ad un numero che ha avuto una straordinaria importanza nella storia dell’arte classica e non solo: quel numero che si chiama la proporzione aurea. Un solo esempio: Il pittore francese Seurat ne ha fatto un uso consapevole in molte delle sue opere. Leonardo da Vinci si accorse che i numeri di Fibonacci tornavano nella posizione delle foglie sui diversi tipi di piante, nella fillotassi cioè. Ed in musica? Ecco cosa ne scrive Roman Vlad: (Musica e matematica di M. Emmer, a cura di Matematica e cultura 2, Springer 1999): «Esempi dell’uso dei numeri di Fibonacci si hanno nell’arte della fuga e nell’offerta musicale di Giovanni Sebastiano Bach. Meno frequenti nei classici viennesi ricompaiono nella Sonata in la D 959 di Schubert. Nella maggior parte delle musiche di Debussy ed in Ravel. Notevole anche l’utilizzo che ne fa Bela Bartok nell’Allegro Barbaro ed in altre musiche. L’esempio più stupefacente di una applicazione su larga scala degli stilemi improntati alla proporzione aurea è dato dalla Sagra della Primavera di Stravinski. La prima parte di questo capolavoro è strutturata secondo la prima delle serie di Fibonacci (2-3-5-8 ecc.) la seconda presenta articolazioni riferibili alla seconda serie (3-4-7-11) ». La nostra civiltà deve molto alla cultura araba e a Leonardo Pisano. (M. EMMER)
Finalmente l’abitudine al “voltaico” non si applica solo alle strategie opportunistiche della politica.
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